Sette gradi verso Andria
Sei osservazioni sulla geometria di Castel del Monte, e un π che vale zero
I. Il numero rimasto senza spiegazione
Nel maggio del 2025 l’architetto Federico Lardera chiude un lungo esame dell’ipotesi aureo-solare di Aldo Tavolaro con un’obiezione secca. Un impianto tracciato secondo criteri di rigorosa geometria solare dovrebbe allinearsi al nord geografico. Castel del Monte risulta invece ruotato verso est di oltre sette gradi, e l’autore definisce quella rotazione inspiegabile.
Sette gradi.
L’azimut che congiunge Castel del Monte al centro di Andria misura 6,97 gradi. Alla cattedrale, sotto il cui pavimento riposano due mogli di Federico II — Jolanda di Brienne, morta nel 1228, e Isabella d’Inghilterra, traslata lì dopo il 1241 — misura 6,39.
La rotazione inspiegabile punta ad Andria.
Fig. 1 — L’impianto dell’edificio ruotato di 6,97 gradi verso est rispetto al nord geografico. Il tratteggio chiaro mostra l’ottagono che risulterebbe da un allineamento cardinale.
L’informazione circola già, e da tempo. Treccani, riprendendo le indagini dell’équipe tedesca di Wulf Schirmer, scrive che l’orientamento della costruzione fu realizzato in direzione della città: quell’Andria fidelis che Federico volle premiare al ritorno dalla sesta crociata, per avergli tenuto fede mentre il Regno si sollevava. Due dati pubblicati, distanti pochi minuti di lettura, mai avvicinati.
Questa è la prima di sei osservazioni. Le altre cinque riguardano un raggio più preciso di un lato, una domanda che nessuno rivolge ai propri numeri, due diametri apparentemente in contraddizione, una previsione confermata dai dati, e un π che sarebbe una notizia clamorosa qualora valesse qualcosa.
Chi già conosce la vicenda salti pure il capitolo seguente.
II. Perché la geometria è diventata un campo di battaglia
Di Castel del Monte esiste un solo documento coevo: una lettera del gennaio 1240 con cui Federico, allora a Gubbio, ordina a Riccardo da Montefuscolo, giustiziere di Capitanata, di procurare calce e pietre per il castrum di Santa Maria del Monte. Il nome oggi in uso arriva nel 1463, due secoli più tardi.
Di soggiorni imperiali resta una sola attestazione, del 28 ottobre 1250, in una fonte tre-quattrocentesca discussa. La prima notizia sicura di un utilizzo riguarda le nozze di Violante, figlia naturale dell’imperatore, celebrate lì nel 1249.
Tutto il resto lo dice l’edificio, e quello che dice suona strano. Mancano il fossato, il ponte levatoio, le caditoie, le scuderie, le cucine di scala castrense. Le feritoie risultano troppo strette e profonde per un arco. Le tre scale a chiocciola girano tutte a sinistra, liberando la mano armata di chi sale e paralizzando quella di chi difende: il contrario esatto di ogni trattato militare medievale. In compenso l’edificio possiede sette cisterne, canali di scolo perimetrali in ogni sala, bagni con acqua corrente, marmi policromi, breccia corallina, e volte un tempo rivestite di mosaico.
Un edificio che rifiuta di dichiarare la propria funzione lascia in eredità una sola testimonianza: la propria forma. Ed è lì che, dal 1974 in poi, si è combattuto.
Aldo Tavolaro apre le ostilità con un modello aureo-solare: i quattro punti del sorgere e tramontare del sole ai solstizi formerebbero, alla latitudine di Castel del Monte e soltanto lì, un rettangolo aureo, figura ordinatrice dell’intera pianta. Heinz Götze, nel 1984, propone invece la stella ottagona di matrice islamica, le cui punte cadono sui centri delle otto torri. Schirmer, con le campagne 1990-96 pubblicate a Magonza nel 2000, porta per la prima volta misure rilevate scientificamente, e il suo collaboratore W. Zick liquida l’astronomia di Tavolaro con un calcolo secco. Karl Kiem, nel 2023, propone una cascata di rapporti argentei, 1 : (1+√2). Federico Lardera, con il matematico Lorenzo Roi, lavora dal 2020 su una nuvola LiDAR di otto miliardi di punti a risoluzione millimetrica, sviluppa un metodo che chiama reverse architecture e arriva a un modello inedito, ribattezzato rosoniforme, fondato su sedici cerchi tangenti.
Cinque ricostruzioni, cinque figure ordinatrici differenti. Ciascuna torna entro l’uno o il tre per cento. Ciascuna è stata pubblicata da qualcuno persuaso di avere risolto l’enigma.
III. Il raggio e il lato
Kiem riporta, da Schirmer, le distanze fra il centro dell’edificio e i centri delle otto torri: variano da 23,80 a 23,82 metri, con due eccezioni a 23,78 e 23,85. Escursione totale: sette centimetri su ventiquattro metri.
La tavola planimetrica di Lardera, ricavata dal modello statistico LiDAR, quota invece gli otto lati della muratura esterna: 16,631 / 16,706 / 16,729 / 16,770 / 16,777 / 16,854 / 16,929 / 16,943. Escursione: trentuno centimetri.
Riordiniamo in percentuale:
| grandezza | escursione | in rapporto alla media |
|---|---|---|
| raggi centro → centri delle torri | 7,0 cm su 23,81 m | 0,29 % |
| lati regolari della corte | 8,7 cm su 7,41 m | 1,18 % |
| lati della muratura esterna | 31,2 cm su 16,79 m | 1,86 % |
Il raggio risulta sei volte più regolare del lato.
Fig. 2 — Escursione di ciascuna famiglia di misure attorno alla propria media. La distanza dal centro resta entro tre decimi di punto percentuale; i lati costruiti arrivano a quasi due.
L’edificio costruisce male e misura benissimo: sbaglia le pareti di trenta centimetri e tiene la distanza dal centro a sette. Nessun muratore lavora così, salvo che a comandare sia il centro.
Quell’asimmetria porta una firma precisa. Un tracciamento per righe, squadre o figure sovrapposte accumula errore lungo il perimetro, e i raggi ereditano quell’errore assieme a tutto il resto. Un tracciamento polare rovescia la gerarchia: si conficca un palo, si tende una corda, e il raggio diventa l’unica grandezza sottratta all’errore, poiché la corda stessa lo definisce. Il perimetro arriva dopo, e paga.
Vale la pena ricordare quale oggetto occupasse, per secoli, il punto esatto in cui quel palo sarebbe stato piantato. Al centro della corte, sopra la grande cisterna ipogea, i visitatori fra Seicento e Ottocento descrivono una vasca ottagonale di marmo bianco, con sedili incavati lungo il bordo interno, di un diametro tanto meraviglioso da rendere incredibile il suo trasporto sull’altura. Il vandalismo la ridusse in frantumi. Resta il fatto che il punto più preciso dell’intera pianta fu l’unico segnato da un monumento.
Questa osservazione lavora contro Kiem in modo diretto. Il suo argomento centrale sostiene che una precisione simile sfugge alle possibilità dei metodi con corde d’orditura, e postula quindi un progetto determinato per calcolo algebrico, sostenuto dalla presenza a corte di Leonardo Fibonacci. La distribuzione degli errori racconta altro: l’imprecisione esiste, eccome, e siede esattamente nei punti in cui una corda tesa dal centro smette di arrivare.
Va detto per correttezza che il tracciamento sul terreno con palo e corda appartiene già a Götze, a Tavolaro e a Dankwart Leistikow. La novità riguarda soltanto la prova: finora l’ipotesi si reggeva sulla verosimiglianza, adesso dispone di un’asimmetria misurata su numeri pubblicati.
IV. La domanda che nessuno rivolge ai propri numeri
Quanto misura il lato di una torre di Castel del Monte?
Wikipedia e la scheda UNESCO dicono 2,70 metri. Il sito ufficiale del monumento dice 3,10. Kiem, citando Schirmer, dice 3,23. Tre risposte per la stessa grandezza, in tre fonti tutte autorevoli.
La tavola quotata di Lardera scioglie l’enigma. Raggruppando i valori riportati attorno alle otto torri emergono tre famiglie distinte:
| famiglia | quanti valori | media | dispersione |
|---|---|---|---|
| lati regolari della torre | 33 | 3,235 m | 3,2 cm |
| lati anomali d’innesto nella muratura | 13 | 3,388 m | 1,1 cm |
| lati del basamento | 44 | 3,543 m | 2,2 cm |
L’anomalia risulta di 15,3 centimetri, e coincide con i «circa 15 cm» che Lardera dichiara nel testo, ricavati per altra via.
Fig. 3 — I novanta valori quotati sulle otto torri, ordinati per lunghezza. Tre insiemi separati, tre grandezze diverse spacciate da tre fonti differenti quale medesima misura.
La ragione sta in un particolare costruttivo che il rilievo tridimensionale mette a fuoco: ogni torrione poggia su un basamento più largo del corpo in elevazione, chiuso in alto da una modanatura perimetrale. Quel basamento è il piede di fondazione, il plinto strutturale dalla cui base parte la costruzione. Sezionando l’edificio sotto la modanatura si ottiene un ottagono; sezionandolo sopra se ne ottiene un altro, minore di trenta centimetri per faccia.
La pianta di una torre dipende dalla quota di taglio, e nessun autore dichiara mai a quale quota stia misurando.
La conseguenza raggiunge il cuore della tesi di Kiem. La sua cascata argentea richiede che il lato della corte stia al lato della torre secondo il rapporto 2,414. I numeri di Schirmer danno 2,291: uno scarto del 5,1 per cento, corrispondente a 16,5 centimetri sul lato della torre. In un edificio le cui otto distanze omologhe variano di tre centimetri, sedici centimetri valgono cinque volte la dispersione interna, e un arrotondamento di irrazionali — la spiegazione offerta — copre a fatica una simile voragine.
Osserviamo adesso quali relazioni tengono e quali cedono:
| relazione | genere di misura | scarto |
|---|---|---|
| centri delle torri ÷ corte | posizione di centri geometrici | + 1,6 % |
| cerchi di inviluppo | somme e differenze attorno ai centri | + 1,2 % |
| lato torre ÷ lato corte | superficie muraria, variabile con la quota | − 5,1 % |
Le due relazioni che reggono coinvolgono centri, i quali restano indifferenti alla quota: un basamento più largo lascia il proprio centro esattamente in asse con la torre. L’unica relazione che cede è l’unica misurata su una faccia che cambia salendo.
V. I due diametri del castello
Le fonti divergono anche sulla dimensione complessiva dell’edificio. Quasi tutte riportano 56 metri di diametro; Wikipedia ne riporta 40. Uno scarto del quaranta per cento su una grandezza banale.
Chiamiamo R la distanza fra il centro dell’edificio e il centro di una torre — i 23,81 metri di Schirmer — e ρ il raggio del cerchio circoscritto a una torre, pari a 4,22 metri. Gli otto cerchi delle torri ammettono allora due inviluppi: il cerchio che li contiene tutti dall’esterno, di raggio R + ρ, e il cerchio inscritto negli spazi fra essi, di raggio R − ρ.
Il primo misura 28,03 metri di raggio, quindi 56,1 di diametro. Il secondo misura 19,59, quindi 39,2.
I due numeri discordanti delle fonti sono due cerchi diversi. Uno racchiude le torri, l’altro le sfiora dall’interno. Nessuna contraddizione, soltanto due grandezze omonime.
Fig. 4 — Il cerchio che contiene le otto torri e quello inscritto fra esse. Il primo misura 56,1 metri di diametro, il secondo 39,2: entrambi circolano nella letteratura quale «diametro del castello».
C’è un supplemento che vale la pena registrare. Il rapporto fra i due inviluppi vale (R+ρ)/(R−ρ), quantità che dipende soltanto dal rapporto R/ρ. Qualora torre e ottagono dei centri distassero esattamente due passi nella cascata argentea, cioè con R/ρ = (1+√2)² = 3+2√2, il rapporto fra i due cerchi varrebbe:
4+222+22=2\frac{4+2\sqrt2}{2+2\sqrt2}=\sqrt2
√2 esatto: la diagonale del quadrato, lo stesso numero che governa ogni ottagono. I dati di rilievo danno 1,4308 contro 1,4142 teorici, uno scarto dell’1,2 per cento — la migliore performance dell’intera cascata argentea, poiché somme e differenze attenuano l’errore invece di amplificarlo.
VI. Una previsione, e trentasette centimetri
Il modello rosoniforme di Lardera fonda l’intero impianto su un solo elemento: l’ottagono del basamento del torrione, considerato modulo generatore. Dalla sua dimensione discendono, per tangenza, la corona dei sedici cerchi che genera le torri, e quindi il diametro del castello; e per somma di apotema e raggio, la corte centrale.
Un modello con un solo parametro libero produce previsioni secche. Applicando le sue due regole ai numeri di Schirmer — dati indipendenti da quelli su cui il modello fu costruito — il raggio del basamento risulta 4,645 metri, il che impone al plinto di sporgere oltre il corpo della torre di 39,4 centimetri per lato.
La previsione precede la conoscenza del dato. Le quote della tavola planimetrica danno poi un lato del basamento di 3,543 metri, ossia 8,554 metri fra le facce opposte, contro i 7,810 del corpo in elevazione: aggetto reale di 37,2 centimetri.
Errore di 2,2 centimetri su un ordine di grandezza di otto metri e mezzo. Il modello rosoniforme supera una verifica che gli era estranea.
VII. Due modelli presentati quale uno
Lo stesso studio pubblica, in altra pagina, la formalizzazione algebrica del modello di Tavolaro, espressa in funzione del raggio del basamento. La formula che fissa l’ottagono esterno recita:
r8BTV=rB 1+φtan(π/8)1−φtan(π/8)=5,0645 rBr_{8BTV}=r_B\,\frac{1+\varphi\tan(\pi/8)}{1-\varphi\tan(\pi/8)}=5{,}0645\;r_B
Il modello rosoniforme, fondato sulla tangenza dei sedici cerchi, impone invece:
R=rBsin(π/16)=5,1258 rBR=\frac{r_B}{\sin(\pi/16)}=5{,}1258\;r_B
Divergenza dell’1,2 per cento sulla grandezza che entrambi assumono quale generatrice dell’impianto. Sulla corte, 2,0824 contro 2,0978: 0,74 per cento.
Sono due schemi differenti, prodotti dalla medesima équipe sui medesimi dati, e la loro distanza reciproca eguaglia l’ordine di grandezza degli scarti che ciascuno rimprovera ai predecessori. La circostanza merita di essere dichiarata, poiché un lettore che incontri le due pagine in giorni diversi le riceve quali conferme l’una dell’altra.
VIII. Il π che vale zero
Il cerchio che circoscrive le otto torri misura 28,03 metri di raggio. L’apotema della corte ottagona misura 8,933 metri. Il loro rapporto vale 3,138, contro π = 3,1416.
Scarto: un millesimo.
È il numero più preciso emerso da tutta questa ricerca, e vale esattamente zero.
La ragione appartiene alla statistica elementare. Una pianta simile offre una decina di lunghezze rilevate; una decina di lunghezze forma quarantacinque rapporti; e la probabilità che almeno uno fra quarantacinque rapporti cada entro mezzo punto percentuale da π, φ, √2, √3 o e sfiora la certezza. Aggiungiamo che nessuna costruzione con riga e compasso genera π, e che nessuna fonte federiciana lo menziona.
Da questa strada esatta passò Renate Thiery, nel 1980, per riconoscere in Castel del Monte la quadratura del cerchio. Da una strada gemella passò Tavolaro per riconoscervi la sezione aurea, e Götze per riconoscervi la stella ottagona quale figura mandalica.
La differenza fra il √2 del capitolo V e questo π sta tutta in una parola: il primo discende da una costruzione, il secondo da una divisione. Il primo si ottiene tracciando; il secondo si ottiene dividendo due numeri già noti, e chi divide abbastanza a lungo trova qualunque dio desideri incontrare.
Chi scrive ha commesso, in una settimana di lavoro su questi materiali, cinque errori appartenenti alla medesima famiglia. Ha spacciato per scoperta un rapporto trovato per divisione. Ha annunciato un accordo di tre millimetri, salvo scoprire che il dato corretto lo portava a un centimetro, e che i tre millimetri nascevano da un decimale sbagliato. Ha dichiarato la sezione aurea assente dall’edificio, salvo verificare che lo scarto del rettangolo aureo dalla realtà misurata vale 18,5 centimetri contro i 58,1 del quadrilatero solstiziale. Ha scelto, per far quadrare un residuo, la lunghezza di corda che rendeva il conto favorevole. Ha scritto «nessuno lo dice» a proposito di una tesi sostenuta già da tre autori.
Cinque errori individuati e corretti dentro la stessa ricerca. La letteratura su Castel del Monte contiene i medesimi errori, pubblicati.
IX. Le due domande da girare a chi possiede i dati
Restano due verifiche capaci di decidere, e i dati necessari esistono entrambi.
Prima domanda. Gli otto raggi correlano con la quota di posa delle fondazioni? Fulvio Zezza documenta che la dissoluzione carsica ha reso irregolare la sommità del rilievo, tanto che la profondità di posa delle fondazioni varia da punto a punto. Una corda tesa da un palo produce, su terreno accidentato, un raggio orizzontale sempre minore della corda, e tanto più corto quanto più basso è il punto. Un dislivello di 1,8 metri basta a generare l’intera escursione osservata. Qualora i raggi più corti cadessero sui punti di fondazione più profondi, il tracciamento a corda passerebbe da ipotesi verosimile a fatto documentato. Qualora risultassero indipendenti dalla quota, resterebbero semplici tolleranze di cantiere.
Seconda domanda. I raggi restano costanti alle diverse altezze? Il modello statistico tridimensionale di larderArch è stato sezionato con quattro piani orizzontali a quote differenti. Raggi identici a tutte e quattro le quote significano errore congelato al momento del tracciamento e riportato in alto a piombo. Raggi divergenti con l’altezza significano errore accumulato durante l’elevazione, con la corda tesa a venti metri dal suolo e il vento a lavorarci contro. Due meccanismi opposti, due esiti opposti, una tabella che nessuno ha ancora pubblicato.
Congedo
Nessuno dei modelli esaminati coincide col progetto originale. Tutti tornano entro l’uno o il tre per cento, che è la fascia entro cui qualunque schema ragionevole torna, applicato a un ottagono regolare. Kiem ha ragione contro Götze; Lardera ha ragione contro Kiem; il prossimo avrà ragione contro Lardera, poiché il dato manca della risoluzione necessaria a scegliere.
E sopra ogni ricostruzione incombe la domanda che il gruppo del Politecnico di Bari lasciò cadere nel 2005, senza che alcuno la raccogliesse: se abbiano rilevato un monumento oppure un simulacro, dopo restauri che hanno sostituito la pietra su larga scala, cancellando erosioni ancora visibili nelle fotografie di primo Novecento.
Quello che si può affermare con serenità risulta assai meno di quanto ciascuno studioso dichiari. Un edificio ottagonale tracciato sul posto con strumenti ordinari, da maestranze esperte di livellazione al punto da far entrare in funzione per vasi comunicanti una cisterna esterna, distante venti metri e separata dalla principale da roccia carsica irregolare, appena quella sotto la corte raggiungeva il colmo. Orientato verso Andria per ragioni dinastiche. Rimaneggiato in corso d’opera, con almeno un cambio nella direzione dei lavori. Lasciato incompiuto.
Tutto il resto appartiene a chi ricostruisce, e va dichiarato tale.
Federico II mise in piedi un edificio che rifiuta di spiegarsi da quasi otto secoli. Ottant’anni di studiosi hanno risposto costruendogli attorno undici spiegazioni. Sospetto che l’imperatore, il quale amava le domande più delle risposte e teneva a corte chi sapeva porle, troverebbe la faccenda perfettamente riuscita.
Nota bibliografica essenziale
- Tavolaro A., Astronomia e geometria nella architettura di Castel del Monte, Laterza, 1991
- Götze H., Castel del Monte. Forma e simbologia dell’architettura di Federico II, Hoepli, 1988
- Schirmer W., Castel del Monte. Forschungsergebnisse der Jahre 1990 bis 1996, von Zabern, Magonza, 2000 (comprende le indagini astronomiche di W. Zick)
- Kiem K., La pianta di Castel del Monte e la sezione argentea, in «Engramma» n. 200, marzo 2023
- Lardera F. (con L. Roi), Il teorema matematico di Castel del Monte. Il reverse architecture quale nuova metodologia di analisi dei monumenti, Roma 2023, e le pagine analitiche su larderarch.net
- Capra A., Costantino D., Rossi G., Angelini M. G., Leserri M., Survey and 3D Modelling of Castel del Monte, CIPA XX International Symposium, Torino 2005
- Occhinegro U., Fallacara G., Castel del Monte: nuove ipotesi sull’utilitas del monumento, Politecnico di Bari, 2015
- De Giovanni A., Caratteri geologici e idrogeologici del rilievo collinare di Castel del Monte, Politecnico di Bari, 2015
- Zezza F., Castel del Monte. La pietra e i marmi, Adda, Bari, 2005
Nota sulle figure
Le quattro illustrazioni sono restituzioni originali, elaborate a partire dai valori numerici pubblicati nelle fonti citate. Nessuna riproduce tavole, disegni o elaborati grafici altrui.
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