Dodici, nove, otto, sei

Pitagora, la misura e il residuo che sfugge al conto

I. La fucina che manca

Il racconto arriva con sei secoli di ritardo. Lo mette per iscritto Nicomaco di Gerasa, neopitagorico attivo fra la fine del primo secolo dopo Cristo e l’inizio del secondo, e da lui passa a Giamblico, a Censorino, a Macrobio, a Boezio, e da Boezio all’intero medioevo latino.¹ Pitagora cammina soprappensiero, oltrepassa la bottega di un fabbro, ode cinque martelli battere il ferro. Quattro suonano insieme con piacere dell’orecchio, il quinto guasta tutto. Entra, esclude una causa per volta — la forza delle braccia, la forma della testa, la posizione del ferro sull’incudine — e pesa gli attrezzi: dodici, nove, otto, sei. Torna a casa, pianta un chiodo nell’angolo formato da due muri, appende quattro corde identiche per materia, spessore e torsione, e a ciascuna lega uno di quei pesi.

La scena possiede tutto: il caso fortunato, l’orecchio assoluto, il controllo delle variabili, il ritorno in laboratorio a verificare. Sembra il primo esperimento della storia occidentale. Risulta falsa due volte.

Falsa la prima volta perché l’altezza di un corpo percosso dipende dalla forma, dalle dimensioni, dal materiale e dal modo in cui vibra: due martelli da dodici e da sei libbre battono ciò che capita loro davanti, privi di qualsiasi obbligo di distare un’ottava. Falsa la seconda volta, e in maniera assai più istruttiva, per via delle corde appese al chiodo. La frequenza fondamentale di una corda tesa cresce con la radice quadrata della tensione. Per ottenere l’ottava servono quattro libbre contro una, mai due contro una. Chi ripete alla lettera l’esperienza di Nicomaco raccoglie un rumore sgradevole e quattro numeri smentiti.

I quattro numeri, tuttavia, restano esatti. Dodici sta a sei quale due sta a uno, e quello è l’intervallo di ottava; nove sta a sei quale tre sta a due, e quella è la quinta; otto sta a sei quale quattro sta a tre, e quella è la quarta. La scala pitagorica regge, il tono di nove ottavi siede al proprio posto fra i due tetracordi. Il risultato è giusto, il racconto che lo motiva è impossibile.

Quel che accadde davvero somiglia a una cosa più povera e più grande: un pezzo di legno, una corda tesa fra due chiavi, un ponticello che scorre. Il monocordo. Chi lo possiede scopre in un pomeriggio che, dimezzando la lunghezza vibrante, ottiene il medesimo suono più acuto; a due terzi ottiene la quinta; a tre quarti la quarta. Servono un orecchio e una riga. E qui accade la cosa che merita ancora oggi lo stupore intero: una sensazione — la consonanza, cioè il piacere puro dell’udito, la meno argomentabile fra le esperienze umane — coincide con un rapporto fra numeri piccoli. Il bello si lascia scrivere.

Walter Burkert ha osservato che la leggenda della fucina appartiene a una geografia mitica in cui fabbri, metallurghi e fondatori di misteri condividono gli stessi antenati: i Dattili Idei inventano insieme la fusione dei metalli e la musica.² Il racconto serve a fondare, invece che a spiegare. Conviene tenerlo presente per tutto il resto del cammino: il pitagorismo fabbrica di continuo storie a valle di verità trovate a monte. La fucina rimane il caso primo, e il più onesto fra tutti, perché la verità c’era davvero.

II. Il salto

Da «il suono possiede un numero» a «le cose sono numeri» corre una distanza che nessun esperimento colma. È il salto su cui poggia l’intero edificio, ed è insieme un errore di categoria e l’ipotesi più fertile mai formulata da un essere umano.

Filolao di Crotone, pitagorico della seconda generazione, lo enuncia con freddezza: tutto ciò che si conosce possiede un numero, e privo del numero nulla si lascia pensare.³ Aristotele, testimone ostile e per questo prezioso, riferisce che quelli che egli chiama «i cosiddetti pitagorici» ritenevano gli elementi dei numeri elementi di tutte le cose esistenti, e l’intero cielo armonia e numero.⁴ La formula moderna direbbe: la matematica descrive il reale. La formula pitagorica dice qualcosa di diverso e di più radicale: la matematica costituisce il reale, ne è la sostanza, sta al mondo quale il legno sta al tavolo.

Un dettaglio storiografico rende il salto meno assurdo di quanto appaia. Per quegli uomini il numero possedeva estensione. Si contava con sassolini disposti sul terreno, psephoi, e ogni numero era anzitutto una figura: il quattro un quadrato, il nove un quadrato più grande, il dieci un triangolo di quattro sassi per lato con un decimo sasso nel mezzo, la tetraktys, oggetto di giuramento. Dire che le cose sono numeri significava dire che le cose sono configurazioni, disposizioni, ordini nello spazio. Sotto quella luce la tesi smette di apparire mistica e comincia ad apparire quasi strutturalista: la sostanza di una cosa sta nel modo in cui le sue parti stanno fra loro.

Il prezzo lo pagò subito l’etica. Sull’onda dell’entusiasmo la scuola attribuì un numero a ogni faccenda umana: il due all’opinione, oscillante e mobile; il cinque al matrimonio, somma del primo pari e del primo dispari; la giustizia al quattro e al nove, quadrati del primo pari e del primo dispari, perché il rendere il pari somiglia a un moltiplicare per sé stessi. Aristotele registra anche la tavola dei dieci contrari: limitato e illimitato, dispari e pari, uno e molteplice, destro e sinistro, maschile e femminile, quiete e movimento, retto e curvo, luce e tenebra, bene e male, quadrato e rettangolo.⁵ Metà di quella colonna appartiene alla geometria e metà appartiene ai pregiudizi del tempo, saldate insieme dalla convinzione che una sola griglia regga entrambe. È l’aritmetica della morale, ed è il momento in cui una scoperta acustica comincia a legiferare sulle donne e sui mancini.

Eppure il salto funzionò. Duemilacinquecento anni dopo, chi scrive un’equazione di campo compie il medesimo gesto: presume che una struttura formale coincida con qualcosa di reale prima di avere il diritto di presumerlo. La differenza sta nell’appello finale. Il moderno consegna la propria presunzione alla misura, che la respinge o la conferma; il pitagorico la consegnava alla perfezione della forma, che confermava sempre.

III. La regola della tenda

Intorno al 530 avanti Cristo, quarantenne, Pitagora lascia Samo e sbarca a Crotone. Fonda là qualcosa che le parole moderne faticano a nominare, perché mescola l’accademia, il monastero e il partito politico. I beni degli aspiranti entrano in comune. Il noviziato dura cinque anni di silenzio. Il maestro insegna dietro una tenda: i principianti odono la voce e restano privi del volto.

Da quella tenda deriva la parola che ancora oggi indica una musica di cui la sorgente rimane invisibile, e deriva pure la partizione interna della scuola. Gli akousmatikoi, gli uditori, ricevono le sentenze e le imparano a memoria. I mathematikoi, quelli disposti ad apprendere, superata la prova, entrano nella tenda, vedono l’uomo e ottengono il permesso di interrogarlo: ricevono il perché insieme al che cosa.⁶ La divisione ha una conseguenza vertiginosa, riferita da Giamblico: chi veniva respinto riceveva indietro il doppio dei propri beni, e per lui la comunità innalzava una tomba. Chi lo incontrava per strada trattava un morto. E a chi divulgava fuori dalle mura restava la stessa condanna simbolica: la lettera di Liside a Ipparco, tramandata insieme al resto, avverte l’indiscreto che ormai egli è defunto.⁷

Il quadro proviene da Giamblico, autore del terzo secolo dopo Cristo, il quale però attinge con ogni probabilità all’opera perduta che Aristotele dedicò ai pitagorici: la lontananza della fonte impone prudenza, la sua ascendenza vieta di liquidarla.⁸ Conviene ricordare, per equilibrio, che la scuola ammetteva le donne, cosa rarissima nel mondo greco, e che i suoi adepti ressero a lungo la politica di Crotone e delle città vicine, fino alle rivolte che ne bruciarono le sedi.

Resta il dispositivo, ed è il dispositivo la cosa interessante. Cinque anni di silenzio producono un effetto preciso: chi tace per cinque anni ha investito cinque anni, e chi ha investito cinque anni difende ciò che ha ricevuto. La tenda produce un secondo effetto: una voce priva di corpo si contraddice con maggiore difficoltà, perché manca il corpo che stanca, invecchia, esita. La tomba per i respinti produce il terzo: rende il congedo irreversibile. Nessuno di questi tre meccanismi riguarda il contenuto dell’insegnamento. Riguardano la sua tenuta nel tempo.

Sono le prime pagine, in Occidente, di un manuale che verrà riscritto molte volte: il modo in cui si costruisce una comunità che sopravvive al proprio fondatore. Il noviziato, la prova, la regola condivisa, l’esame quotidiano — ogni sera, prima del sonno, il pitagorico ripercorreva la giornata e si chiedeva in che cosa avesse mancato, che cosa avesse compiuto, quale dovere avesse tralasciato.⁹ Quelle tre domande hanno attraversato Seneca, il deserto egiziano, le regole monastiche e gli esercizi ignaziani, cambiando padrone a ogni tappa e restando identiche nella forma.

IV. Che cos’è, che cosa è di più, che cosa si deve fare

I precetti bizzarri, quelli che nelle antologie fanno sorridere, possiedono una struttura. Aristotele, sempre per il tramite di Giamblico, li divide in tre classi.¹⁰

La prima classe risponde alla domanda che cos’è. Che cosa sono le Isole dei Beati? Il sole e la luna. Che cos’è l’oracolo di Delfi? La tetraktys. La seconda classe risponde alla domanda che cosa è di più. Qual è la cosa più saggia? Il numero. Qual è la figura più bella? Il cerchio fra le piane, la sfera fra le solide. La terza classe risponde alla domanda che cosa si deve fare, e raccoglie i divieti che tutti conoscono: astenersi dalle fave, evitare di spezzare il pane, tenersi lontani da macellai e cacciatori, rifiutare la lana e vestire lino, lasciare a terra ciò che cade, evitare di sedersi sulla propria razione di grano, mai attizzare il fuoco con un coltello.

Messe in fila, le tre domande rivelano un’ambizione: coprire l’essere, il valore e l’azione con un solo formato. E il formato è l’enigma. Nessuna di queste sentenze si spiega da sé; ciascuna esige un interprete. Tanto è vero che verso il 400 avanti Cristo, a un secolo appena dal fondatore, circolava già un’Esegesi dei simboli pitagorici, attribuita ad Anassimandro di Mileto il Giovane, che li leggeva in chiave allegorica.¹¹ Una scuola che genera la propria letteratura di commento nel giro di tre generazioni ha capito qualcosa di duraturo sul comando: l’ordine chiaro si esegue e si dimentica, l’ordine oscuro si medita e lega.

Alcuni di quei precetti conservano evidentemente il colore del tabù arcaico, ereditato dall’orfismo o da culti anteriori. Altri, sotto la buccia, custodiscono minuscoli capolavori morali. Il più bello di tutti prescrive di rifiutare aiuto a chi depone il carico, e di offrirlo a chi lo solleva. Chi ripone il peso ha finito e la sua fatica declina; chi lo alza sta cominciando, e la sua fatica cresce. Il precetto vieta la compassione facile, quella che arriva a cose fatte e costa poco, e comanda la compassione scomoda, quella che si presenta all’inizio e dura quanto la strada. Sta scritto in dieci parole ed è un’intera etica.

C’è poi il caso famoso delle fave, per il quale l’antichità si affannò a trovare ragioni: assomigliano ai testicoli, assomigliano alle porte dell’Ade, gonfiano il ventre e disturbano il sonno divinatorio, servivano al voto nelle assemblee e dunque alla politica che il saggio deve fuggire. Nessuna spiegazione ha vinto sulle altre, e la varietà stessa delle spiegazioni è il dato interessante. Duemilacinquecento anni di esegeti hanno lavorato su una regola alimentare di quattro parole. Il congegno funziona ancora.

V. Autòs éphe

Alla scuola si deve la formula più citata e più equivocata dell’antichità: autòs éphe, l’ha detto lui, che i latini resero con ipse dixit e che il medioevo trasformò nel sigillo dell’autorità. Nella bocca originaria significava esattamente ciò che dice: chiuso il discorso, il maestro ha parlato.

Per apprezzare la portata della cosa conviene guardare, nello stesso mezzo secolo, la sponda opposta del mare. A Mileto, Talete propone che il principio di tutto sia l’acqua. Anassimandro, suo discepolo, lo corregge: il principio deve restare privo di determinazioni, e lo chiama ápeiron, l’illimitato. Anassimene, discepolo di Anassimandro, corregge il maestro a propria volta e sceglie l’aria, con rarefazione e condensazione a spiegare il resto. Tre generazioni, tre tesi, due smentite interne. Là una scuola è una catena di correzioni. A Crotone una scuola è una catena di trasmissioni.

La differenza vale l’intera storia successiva del pensiero. Il modello milesio produce la scienza, per la ragione elementare che ammette il proprio errore quale mossa lecita. Il modello crotoniate produce comunità di durata straordinaria, capaci di attraversare secoli, e paga il prezzo di conservare intatti insieme ai risultati anche gli abbagli. Aristotele lo dice senza cortesia: quegli uomini cercavano di accordare i fenomeni con opinioni già possedute, invece di ricavare le ragioni dai fenomeni.¹²

Va aggiunta però una cortesia che Aristotele omette. Una comunità che voglia superare la morte del fondatore ha bisogno di qualcosa che regga anche quando il fondatore manca, e la fiducia svolge quel compito assai meglio della discussione. Il pitagorismo dura mille anni; la scuola di Mileto si esaurisce in tre generazioni. Il modello che scopre di più vive di meno, e il modello che vive di più scopre di meno: le due cose stanno insieme nella stessa bilancia, e i pitagorici la conoscevano bene, tanto che tennero i due tipi separati sotto lo stesso tetto, gli uditori da una parte e quelli che potevano interrogare dall’altra.

VI. La casella vuota

Il cielo pitagorico che tutti descrivono appartiene a Filolao, vissuto fra il 470 e il 390 circa, due generazioni dopo il fondatore. Attribuirlo a Pitagora costituisce l’errore più diffuso della divulgazione.¹³

Al centro dell’universo siede un fuoco, chiamato Estia, focolare del cosmo, distinto dal sole. Intorno a esso ruotano dieci corpi: il cielo delle stelle fisse, i cinque pianeti allora noti, il sole, la luna, la terra. Il sole splende quale lente che raccoglie e rimanda la luce del fuoco centrale. La terra compie il proprio giro in ventiquattro ore tenendo sempre la medesima faccia rivolta verso il centro, così che l’emisfero abitato resta all’oscuro dell’incendio che lo sostiene.

Il conto dà nove. I corpi devono essere dieci, perché dieci è la tetraktys, il numero che chiude in sé la natura intera dei numeri. Il decimo viene introdotto: l’Antiterra, antíchthon, che orbita all’interno rispetto alla terra, ne condivide il moto, resta perennemente invisibile a noi e interviene a spiegare, all’occorrenza, qualche eclissi.

Aristotele mette il dito nella piaga con una frase che vale un trattato di metodo: poiché dieci pareva perfetto, i corpi che si muovono in cielo dovevano essere dieci; visibili essendone nove, ne aggiunsero uno.¹⁴ È il caso di scuola della teoria che produce l’osservabile invece di riceverlo. L’Antiterra è il primo funzionario della storia della fisica: assunta per riempire una casella vuota, retribuita in invisibilità, mai licenziata per due secoli.

Due precisazioni rendono il quadro più onesto. La prima: Lucio Russo ha proposto di recente che l’intera faccenda derivi da un fraintendimento di Aristotele e della dossografia successiva, e che i primi pitagorici mantenessero un modello geocentrico in cui l’antíchthon indicava semplicemente l’emisfero opposto del nostro pianeta.¹⁵ La tesi resta minoritaria, e resta un promemoria salutare: la storia dell’errore altrui va maneggiata con la stessa cautela che pretendiamo dagli altri.

La seconda precisazione conta ancora di più. Quel sistema, costruito su un’esigenza aritmetica, toglie la terra dal centro dell’universo. Lo fa con diciotto secoli di anticipo e per ragioni interamente sbagliate. E quando Copernico, nella dedica al pontefice premessa al De revolutionibus, elenca gli antichi che avevano osato muovere la terra, il nome di Filolao compare in quella lista.¹⁶ Avere ragione per le ragioni sbagliate è una delle cose più interessanti che possano accadere a un’idea, e la storia del pensiero ne è assai più piena di quanto i manuali ammettano.

VII. La diagonale

Poi la scuola incontra il proprio limite, e lo incontra dentro casa.

Si prenda un quadrato di lato uno. La sua diagonale, per il teorema che porta il nome del fondatore, ha quadrato uguale a due. Si supponga che quella diagonale valga una frazione di numeri interi, ridotta ai minimi termini. Elevando al quadrato si ricava che il numeratore ha quadrato pari, dunque il numeratore stesso è pari; sostituendolo si ricava che pure il denominatore è pari; e due numeri entrambi pari conservano un fattore comune, il che contraddice l’ipotesi di partenza. La frazione manca. Il lato e la diagonale del quadrato appartengono a due mondi che il rapporto fra interi si rifiuta di congiungere: sono incommensurabili.

La dimostrazione occupa sei righe, si compie con l’aritmetica elementare e demolisce l’assunto su cui poggiava l’edificio. Una figura semplicissima, tracciabile con un bastone sulla sabbia, contiene una lunghezza che il numero — inteso quale rapporto fra interi, l’unico numero disponibile allora — rifiuta di dire. La radice di due è il primo oggetto matematico che rifiuta di pronunciare per intero il proprio nome, e continua a rifiutarlo all’infinito, cifra dopo cifra, senza mai ripetersi.

La tradizione assegna la scoperta a Ippaso di Metaponto e lo punisce con l’annegamento. Qui la prudenza è d’obbligo, perché le fonti si sdoppiano. Giamblico attribuisce a Ippaso la costruzione del dodecaedro regolare e la sua iscrizione nella sfera, e racconta che la divulgazione di quelle nozioni fuori dalla scuola gli valse l’empietà e il naufragio; altrove il medesimo Giamblico assegna identica colpa e identica pena a chi rivelò la natura dell’incommensurabile, senza nominarlo.¹⁷ La saldatura fra i due racconti appartiene alla tradizione successiva. Kurt von Fritz sostenne che la scoperta nascesse dal pentagono regolare e dalla sezione aurea che vi compare; la maggioranza degli studiosi preferisce oggi il lato e la diagonale del quadrato.¹⁸ Del naufragio resta ciò che resta di tutti i naufragi antichi: una notizia e nessun relitto.

La reazione della matematica greca, quella sì, è documentata e magnifica. Se l’aritmetica dei rapporti fra interi manca di dire la diagonale, allora si cambia strumento: la geometria prende il posto dell’aritmetica quale linguaggio fondamentale. Eudosso costruisce una teoria delle proporzioni capace di trattare grandezze incommensurabili senza chiamarle numeri, e il libro decimo degli Elementi di Euclide dedica al problema il più esteso e faticoso trattato dell’antichità. L’Occidente attenderà il diciannovesimo secolo, con Dedekind e Cantor, per costruire un concetto di numero abbastanza largo da contenere quella diagonale.

Ventitré secoli di ritardo pagati per un rifiuto. E il rifiuto nacque dalla fedeltà a una scoperta vera: la fiducia nei rapporti fra interi, che aveva funzionato in acustica in modo tanto meraviglioso, valse alla geometria una ferita mai rimarginata in tempi brevi.

VIII. L’anima che cambia indirizzo

La testimonianza più antica su Pitagora è una presa in giro. Senofane di Colofone, quasi coetaneo, mette in versi la scena: un uomo bastona un cagnolino, il saggio interviene, ferma la mano e dichiara di riconoscere nella voce dell’animale l’anima di un amico.¹⁹ La riporta Diogene Laerzio secoli dopo, e resta la cosa più vicina alla cronaca che possediamo su quell’uomo.

Il bersaglio è la dottrina che la scuola chiamava trasmigrazione, e che i moderni indicano con precisione maggiore quale metensomatosi: il passaggio della medesima anima attraverso corpi diversi, umani e animali. Platone la discute nel Menone e nel Fedone senza mai attribuirla al fondatore, e la lega piuttosto ai pitagorici del proprio tempo. Porfirio ammette che nessuno può riferire con sicurezza le cose dette ai discepoli stretti, e salva soltanto due punti: l’anima è immortale, e passa in generi diversi di viventi.²⁰

Una precisazione doverosa riguarda Erodoto, spesso citato a sproposito su questo punto. Nel secondo libro egli attribuisce agli Egizi la credenza che l’anima, alla morte del corpo, entri in un altro vivente e compia l’intero giro delle creature di terra, di mare e d’aria in tremila anni, per tornare infine in un corpo umano; e aggiunge che certi Greci fecero propria quella dottrina spacciandola per loro, senza nominarli.²¹ Gli egittologi hanno poi accertato che nella religione egizia una simile concezione manca del tutto. Un dato falso, trasmesso da un autore attendibile, sopravvive ventiquattro secoli: vale la pena segnarselo.

La cosa notevole rimane la coerenza interna. Se la sostanza di un essere consiste nel rapporto invece che nella materia — se le cose sono numeri, cioè configurazioni — allora l’identità si separa dal supporto e il trasloco diventa pensabile. La metensomatosi somiglia meno a una superstizione orientale e più a un corollario dell’ontologia della scuola. Da lì discende con altrettanta logica il vegetarianismo, che Ovidio nel quindicesimo libro delle Metamorfosi mette in bocca al saggio in un discorso di rara bellezza: astenersi dalla carne quale conseguenza aritmetica, prima ancora che sentimentale.

Intorno a tutto questo prolifera la leggenda: la coscia d’oro intravista sotto la veste, la comparsa simultanea in due città, il dono di Ermes che gli concesse ogni cosa a esclusione dell’immortalità e con essa la memoria delle vite trascorse — messaggero degli Argonauti, eroe caduto a Troia, pescatore. Le storie hanno lo stesso stampo delle sentenze: rispondono alla domanda che cos’è. Che cos’è Pitagora? Ed è l’unica domanda alla quale la scuola preferì rispondere con un enigma anziché con un numero.

IX. Keplero conta le note

La domanda pitagorica attraversa i secoli intatta, e due uomini la portano al punto di rottura a trentotto anni di distanza l’uno dall’altro.

Il primo è un liutista fiorentino. Nel 1581 Vincenzo Galilei, padre di Galileo, pubblica il Dialogo della musica antica et della moderna e apre la polemica con il proprio maestro Gioseffo Zarlino, il quale attribuiva ogni consonanza al governo delle proporzioni numeriche secondo la tradizione ereditata dalla scuola. Vincenzo obietta che i rapporti vanno applicati a corpi sonori materiali, e passa dai libri al banco di lavoro: appende pesi alle corde, misura, e trova che per ottenere l’ottava serve un peso quadruplo.²² La proporzione diretta fra tensione e altezza, creduta per venti secoli, cade sotto un secchio di sabbia. Il figlio aveva diciassette anni, cresceva in quella casa, e la storia della scienza sperimentale comincia in una bottega di liuti prima che a Padova.

Il secondo è un astronomo. Giovanni Keplero lavora vent’anni all’Harmonices mundi, e nel 1619 lo dà alle stampe convinto di consegnare all’Europa la prova definitiva dell’armonia delle sfere. Cerca proporzioni musicali fra i tempi di rivoluzione dei pianeti: nulla. Fra le distanze dal sole: nulla. Fra i volumi: nulla. Fra le velocità estreme misurate lungo l’orbita: ancora nulla. Racconta ogni fallimento al lettore, con la generosità che lo distingue. Poi compie la mossa decisiva: sposta l’osservatore sul sole e misura le velocità angolari. Saturno all’afelio percorre centosei secondi d’arco al giorno, al perielio centotrentacinque: il rapporto approssima una terza minore. La terra oscilla di un semitono, sedici a quindici, la distanza fra il mi e il fa. Verificando coppia per coppia, ogni pianeta vicino al successivo restituisce un intervallo consonante con scarto inferiore a un quarto di tono, con la sola eccezione di Marte e Giove.²³

Keplero esulta per il coro. E proprio là dentro, nel quinto libro, mentre inseguiva le note, gli si presenta la relazione fra il tempo di rivoluzione di un pianeta e la sua distanza media dal sole: i quadrati dei periodi stanno fra loro quali i cubi dei semiassi. La terza legge del moto planetario, quella che due generazioni dopo consentirà a Newton di ricavare l’inverso del quadrato, nasce dentro un trattato di armonia, cercata con metodo pitagorico, trovata da un uomo che voleva sentire cantare i cieli.

Ecco la parabola completa. La stessa domanda che aveva prodotto l’Antiterra produce ora una legge esatta. La differenza sta in un punto solo: Keplero consegnava ogni ipotesi ai dati di Tycho Brahe, e quando i dati dicevano di no, lui scriveva che avevano detto di no. La fede nell’armonia gli fornì l’energia; l’obbedienza alla misura gli fornì il risultato. Delle due cose, la prima appartiene interamente a Crotone.

X. Il residuo

Torniamo al pezzo di legno e alla corda tesa.

Quattro anni dopo l’Harmonices mundi, nel Saggiatore, Galileo scrive che il libro dell’universo sta aperto davanti agli occhi di tutti e risulta illeggibile a chi ignora la lingua in cui è composto: caratteri matematici, triangoli, cerchi. La formula ha attraversato quattro secoli e regge ancora l’impianto delle scienze naturali. Nel 1960 il fisico Eugene Wigner intitola un saggio celebre all’irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali, e confessa che la questione gli appare un dono misterioso, meritevole di stupore e privo di spiegazione. La domanda posta a Crotone rimane aperta e formulabile in sette parole: la matematica descrive il mondo oppure lo costituisce.

Chi sceglie la prima risposta ottiene un mondo economico e un mistero: la sorprendente docilità del reale a strumenti inventati dall’uomo. Chi sceglie la seconda ottiene una spiegazione elegante e un mondo abitato da entità che nessuno ha mai toccato. Il dibattito prosegue oggi in forme che parrebbero familiari a Filolao: la struttura matematica quale realtà ultima, l’informazione quale sostanza, le simulazioni ipotizzate da chi trova più facile immaginare un calcolo che una materia. Duemilacinquecento anni, e la partita resta ferma sulla prima mossa.

Il pitagorismo va giudicato per intero, con i suoi due lasciti in mano. Da una parte la scoperta autentica: una sensazione possiede una struttura, e quella struttura si scrive. Da questa parte discendono la fisica matematica, il temperamento equabile, la teoria dei rapporti, l’intera pretesa occidentale di dire il mondo in cifre. Dall’altra parte l’errore inseparabile dalla scoperta: la fiducia che il numero perfetto vincoli il cielo a fornire dieci corpi, che la giustizia valga nove, che la diagonale del quadrato debba lasciarsi scrivere quale frazione soltanto perché è breve, dritta e visibile.

Le due cose nascono dal medesimo gesto, e questo va detto con chiarezza: chi crede che dietro le apparenze stia un ordine leggibile guadagna insieme la capacità di trovarlo e la tentazione di fabbricarlo. Il rimedio arrivò tardi e da fuori: consegnare la struttura ipotizzata a una misura autorizzata a smentirla. Un secchio di sabbia appeso a una corda, i taccuini di Tycho Brahe.

Rimane il residuo, e conviene finire da lì. Su quel monocordo, fra la lunghezza intera e la sua metà, esiste un punto in cui la corda emette una nota che l’orecchio accetta senza fatica e che l’aritmetica dei rapporti fra interi si rifiuta di scrivere. Sta esattamente a metà dell’ottava, il tritono, radice di due. L’orecchio lo tollera, il numero lo respinge. Sullo stesso pezzo di legno da cui era partita, la dottrina aveva già il proprio limite sotto le dita, alla distanza di un ponticello spostato. Occorsero venticinque secoli per accorgersene, e la lezione che ne resta merita di essere trascritta senza numeri: la misura che apre il mondo contiene sempre il punto in cui il mondo la eccede.

Note

Bibliografia

Fonti antiche

Aristotele, Metafisica, libro I.

Diogene Laerzio, Vite e dottrine dei filosofi illustri, libro VIII.

Erodoto, Storie, libro II.

Giamblico, La vita pitagorica.

Nicomaco di Gerasa, Manuale di armonica.

Ovidio, Metamorfosi, libro XV.

Porfirio, Vita di Pitagora.

Boezio, De institutione musica.

Carmen aureum (Versi aurei).

Raccolte

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Studi

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